大 $\ell_p$ 范数下的二进制覆盖半径问题的困难性

我们研究了在 $\ell_p$ 范数中对 $\gamma$ 近似决策覆盖半径问题（$\gamma$-$\text{GapCRP}_p$）的困难性。具体而言，我们证明存在一个显式函数 $\gamma(p)$，其中 $\gamma(p) > 1$ 当 $p > p_0 \approx 35.31$，且 $\lim_{p \to \infty} \gamma(p) = 9/8$，使得对于任意常数 $\varepsilon > 0$，$(\gamma(p) - \varepsilon)$-$\text{GapCRP}_p$ 为 $\mathsf{NP}$-hard。这表明 $\text{GapCRP}_p$ 在显式 $p < \infty$ 时首次具有困难性。Haviv 和 Regev（CCC, 2006 和 CJTCS, 2012）此前表明对于所有足够大的（但非显式）有限 $p$ 以及 $p = \infty$，$\text{GapCRP}_p$ 的 $\Pi_2$-hardness 近似。事实上，我们的 hardness 结果适用于一种称为二进制覆盖半径问题（$\text{BinGapCRP}$）的变体，该问题在任何范数下都可近似-preserving 方式简化为 $\text{GapCRP}$ 和决策线性偏差问题（$\text{LinDisc}$）。我们还显示在 $\ell_{\infty}$ 范数中，对 $(9/8 - \varepsilon)$-$\text{BinGapCRP}$ 的 $\Pi_2$-hardness 对于任意常数 $\varepsilon > 0$。我们的工作扩展并大量使用了 Manurangsi（IPL, 2021）的工作，后者表明在 $\ell_{\infty}$ 范数中，对 $(9/8 - \varepsilon)$-$\text{LinDisc}$ 的 $\Pi_2$-hardness。