具有大围长的 Label Cover 实例与基本 k-spanner 的近似难度

我们研究了著名的 Label Cover 问题，并附加要求问题实例具有大围长。我们证明，若围长为某个 $k$，则对于所有常数 $\epsilon > 0$，该问题近似难度约为 $2^{\log^{1-\epsilon} n/k}$。Elkin 和 Peleg [ICALP 2000] 曾声称一个类似定理，但其证明后来被发现存在根本性错误。我们利用新证明来展示基本 $k$-spanner 问题的不可近似性，该问题既是图 spanner 中最简单的问题，也是少数几个超对数难度尚未知晓的问题之一。假设 $NP \not\subseteq BPTIME(2^{polylog(n)})$，我们证明对于每个 $k \geq 3$ 和每个常数 $\epsilon > 0$，近似基本 $k$-spanner 问题的难度在于无法达到优于 $2^{(\log^{1-\epsilon} n) / k}$ 的因子（对于足够大的 $n$）。Elkin 和 Peleg [ICALP 2000] 曾声称基本 $k$-spanner 有类似的难度，但他们对 Label Cover 分析中的错误也使该证明失效。因此，对于具有大围长的 Label Cover 问题，我们给出了第一个非平凡下界。对于基本 $k$-spanner 问题，我们改进了 Kortsarz [Algorithmica 1998] 先前最佳的 $\Omega(\log n)/k$ 下界。我们的主要技术是对 2-查询 PCP 的边进行子采样，这使得我们能够将 PCP 的度降低到本质上等于所需的可靠性。这足以在本质上保证大围长。