关于参数化集合覆盖与标签覆盖的近似硬度：来自纠错码的阈值图

在$(k,h)$-集合覆盖问题中，给定全集$U$上的一组集合$\mathcal{S}$，目标是区分$\mathcal{S}$包含$k$个覆盖$U$的集合，与$\mathcal{S}$中至少需要$h$个集合才能覆盖$U$这两种情形。Lin（ICALP'19）最近展示了一种从全集大小为$O_k(\log |\mathcal{S}|)$的$(k,k+1)$-集合覆盖问题到全集大小为$|\mathcal{S}|$的$\left(k,\sqrt[k]{\frac{\log|\mathcal{S}|}{\log\log |\mathcal{S}|}}\cdot k\right)$-集合覆盖问题的间隙生成归约。在本文中，我们证明了他结果的一个更具可扩展性的版本：给定字母表$[q]$上、码率$\rho$、相对距离$\delta$的任意纠错码$C$，我们使用$C$来构造从全集$U$上的$(k,k+1)$-集合覆盖问题到全集大小为$\frac{\log|\mathcal{S}|}{\rho}\cdot|U|^{q^k}$的$\left(k,\sqrt[2k]{\frac{2}{1-\delta}}\right)$-集合覆盖问题的归约。Lin通过将输入集合覆盖实例（无间隙）与由称为通用集的极值组合对象构造的特殊阈值图组合，得到具有间隙的最终集合覆盖实例，从而确立其结果。我们的归约沿完全相同的思路，不同之处仅在于我们仅利用纠错码$C$的基本性质来生成Lin所指定的阈值图。我们使用上述相同的阈值图，在W[1]$\neq$FPT与ETH假设下，证明Chalermsook等人（SICOMP'20）引入的$k$-最大覆盖问题的不可近似性结果。我们的不可近似性结果匹配Karthik等人（JACM'19）获得的界，尽管他们的证明框架非常不同，且涉及分布式PCP框架的推广。在此之前，尚不清楚如何采用Lin的证明策略来证明$k$-最大覆盖的不可近似性结果。