关于k-集打包的局部搜索与LP和SDP松弛
摘要
集打包是一个基本问题，它推广了一些著名的组合优化问题并有大量应用。它等价于超图匹配，并且与最大独立集问题强相关。在本文中，我们研究 k-集打包问题：给定全集 U 和 U 上子集的集合 C，每个子集的基数为 k，需要找到最大的互不相交子集集合。局部搜索技术已被证明在寻找近似算法方面是成功的，无论是对于问题的未加权版本还是加权版本（其中 C 中每个子集关联一个权重，目标是最大化权重和）。我们综述了这些方法，并给出了其背后的背景与直观解释。特别地，我们将 Berman（[Ber00]）当前最佳加权近似算法的主要引理的代数证明简化为一个能揭示数学背后真正发生之处的直观证明。主要结果是对 Chan 和 Lau（[CL10]）的多项式大小 LP 松弛以及自然 SDP 松弛（注：见第 iii 页）的 k-集打包的积分间隙给出了 k/3 + 1 + epsilon 的新界。我们提供了证明该新界所需引理的详细证明，并论述了一些相关主题的背景，如半定规划和 Lovasz theta 函数。最后我们进行了扩展讨论，提出了一些未来研究的可能性。我们讨论了当前加权近似算法以及 LP 和 SDP 松弛的结果如何可能被改进，集打包与独立集问题之间的强关系，以及问题的加权与未加权版本之间的差异。
引用
@article{arxiv.1507.07459,
title = {On local search and LP and SDP relaxations for k-Set Packing},
author = {Tim Oosterwijk},
journal= {arXiv preprint arXiv:1507.07459},
year = {2015}
}
备注
There is a mistake in the following line of Theorem 17: "As an induced subgraph of H with more edges than vertices constitutes an improving set". Therefore, the proofs of Theorem 17, and hence Theorems 19, 23 and 24, are false. It is still open whether these theorems are true