局部分布与对称间隙：多路划分问题的可近似性
摘要
我们研究多路划分问题的可近似性，其例子包括多路割（Multiway Cut）、节点加权多路割（Node-weighted Multiway Cut）和超图多路割（Hypergraph Multiway Cut）。我们从两种可能的推广角度考察这些问题：作为最小约束满足问题（Min-CSPs）和作为次模多路划分（Submodular Multiway Partition）问题。这两种推广导致了两种自然的松弛：基本线性规划（Basic LP）和 Lovasz 松弛（Lovasz relaxation）。我们证明 Lovasz 松弛对于具有 个端点的次模多路划分给出了 (2-2/k)-近似，改进了最近的 2-近似。我们证明该因子在两种意义下是最优的：(1) 对于具有 k 个端点的次模多路划分，一个 (2-2/k-\epsilon)-近似将需要指数级多的取值查询（value queries）。(2) 对于具有 k 个端点的超图多路割和节点加权多路割（二者均为次模多路划分的特例），我们证明在唯一博弈猜想（Unique Games Conjecture）下，(2-2/k-\epsilon)-近似是 NP 困难的。我们的两个困难性结果更为通用：(1) 我们表明先前用于次模最大化问题的对称间隙（symmetry gap）概念，也意味着次模最小化问题的困难性结果。(2) 在唯一博弈猜想下，我们证明基本 LP 为所有包含不等（Not-Equal）谓词的最小 CSP 给出了最优近似。最后，我们通过证明基本 LP 的积分间隙（integrality gap）与多线性松弛（multilinear relaxation）的对称间隙（对于相关实例）相一致，从而联系了两种困难性技术。这表明对于最小 CSP 与相关的次模最小化问题出现相同的困难性阈值并非巧合。
引用
@article{arxiv.1503.03905,
title = {Local Distribution and the Symmetry Gap: Approximability of Multiway Partitioning Problems},
author = {Alina Ene and Jan Vondrak and Yi Wu},
journal= {arXiv preprint arXiv:1503.03905},
year = {2015}
}
备注
This is the full version of our SODA 2013 paper. Full proofs have been included and one erroneous claim has been removed (brute-force rounding for Min-CSP problems)