顶点快乐问题的近似算法

我们研究了最大快乐顶点（MHV）问题及其互补的最小不快乐顶点（MUHV）问题。我们首先通过将方程目标函数重写为集合函数，表明 MHV 和 MUHV 问题分别是超模多标记（Sup-ML）和次模多标记（Sub-ML）问题的特例。最初为次模多划分（Sub-MP）问题提出的 Lovász 扩展上的凸松弛可以推广到 Sub-ML 问题，从而证明 Sub-ML（相应地 Sup-ML）可以在因子 $2 - \frac{2}{k}$（相应地 $\frac{2}{k}$）内被近似。这些一般结果意味着，使用相同的近似算法，MHV 和 MUHV 问题也可以分别在 $\frac{2}{k}$ 和 $2 - \frac{2}{k}$ 内被近似。对于 MHV，该 $\frac{2}{k}$-近似算法改进了先前的最佳近似比 $\max \{\frac{1}{k}, \frac{1}{\Delta + 1}\}$，其中 $\Delta$ 是输入图的最大顶点度。我们还证明了现有的 LP 松弛与 Sup-ML 问题在 Lovász 扩展上的凹松弛相同；随后我们证明了该 LP 松弛的整数间隙上界为 $\frac{2}{k}$。这些表明，基于 LP 松弛的 $\frac{2}{k}$-近似算法是最佳可能的。对于 MUHV，我们构造了一种新颖的 LP 松弛，并证明其与 Sub-ML 问题在 Lovász 扩展上的凸松弛相同；随后我们给出了该 LP 松弛的整数间隙下界 $2 - \frac{2}{k}$。类似地，这些表明基于 LP 松弛的 $(2 - \frac{2}{k})$-近似算法是最佳可能的。最后，在唯一博弈猜想（Unique Games Conjecture）下，我们证明了该 $(2 - \frac{2}{k})$-近似对于 MUHV 问题是最优的。