网络同质性的算法方面

我们研究了网络中同质性现象的算法问题。给定一个无向图 $G = (V, E)$ 和 $G$ 的一个顶点着色 $c \colon V \rightarrow {1, 2, ..., k}$，如果顶点 $v$ 与其所有邻居颜色相同，则称 $v$ 是“快乐的”，否则是“不快乐的”；如果边 $e$ 的两个端点颜色相同，则称 $e$ 是“快乐的”，否则是“不快乐的”。假设 $c$ 是 $G$ 的一个部分顶点着色，我们定义最大快乐顶点问题（简称 MHV）为对所有剩余顶点进行着色，使得快乐顶点数量最大化；定义最大快乐边问题（简称 MHE）为对所有剩余顶点进行着色，使得快乐边数量最大化。设 $k$ 为问题中允许的颜色数。我们证明，当 $k = 2$ 时，MHV 和 MHE 均可在多项式时间内求解；当 $k \geq 3$ 时，两者均为 NP-难问题。我们为 MHV 问题设计了一个 $\max {1/k, \Omega(\Delta^{-3})}$ 近似算法，其中 $\Delta$ 是输入图中顶点的最大度数；为 MHE 问题设计了一个 $1/2$ 近似算法。这是这两个自然且基础的新问题的首次理论进展。