软快乐着色的局部搜索改进

对于$0\leq \rho\leq 1$和彩色图$G$，若顶点$v$至少有$\rho \mathrm{deg}(v)$的邻居与其相同颜色，则称$v$为$\rho$-快乐。部分着色图$G$的软快乐着色问题是寻找保持预着色并使$\rho$-快乐顶点数最大的顶点着色$\sigma$。已知该问题是NP难的，并且直接关联图的社区结构；在$\rho$的快乐比例与图具有社区结构的特定条件下，由社区诱导的着色可以使所有顶点都$\rho$-快乐。我们证明，当$0\leq \rho_1<\rho_2\leq 1$时，完全$\rho_2$-快乐着色的社区检测准确率高于完全$\rho_1$-快乐着色。此外，当$\rho$超过阈值时，几乎不可能找到一个快乐度为$\rho$且颜色类别规模几乎相等的完全快乐着色。我们提出了三个局部搜索算法用于软快乐着色，并与其他已知算法进行比较。其中，线性时间复杂度的局部搜索算法不仅非常快，而且是一种可靠算法，能够显著提高$\rho$-快乐顶点的数量。