软快乐着色与网络的社区结构

对于$0<\rho\leq 1$，着色图$G$中的一个$\rho$-快乐顶点$v$至少有$\rho\cdot \mathrm{deg}(v)$个同色邻居，而$G$的一个$\rho$-快乐着色(又名软快乐着色)是一种使所有顶点都$\rho$-快乐的顶点着色。社区是一个子图，其顶点彼此之间的连接比与其余顶点更紧密。具有社区结构的图可以通过随机图模型(如随机块模型(SBM))来建模。在本文中，我们提出了几个定理，表明这两个概念是相关的，并具有众多实际应用。我们证明，在随机块模型中，如果模型参数满足某些条件，图的社区以高概率在所有顶点上诱导出$\rho$-快乐着色。此外，推导出了$\rho$的概率阈值，使得SBM中图的社区能诱导出$\rho$-快乐着色。进一步，当$\rho$小于某个阈值时，讨论了由图的社区诱导的$\rho$-快乐着色的渐近行为。我们开发了用于软快乐着色的启发式多项式时间算法，该算法通常与图的社区结构相关。最后，我们提出了一个实验评估来比较所提出算法的性能，从而证明了理论结果的有效性。