扩张图上局部搜索的尖锐幂律

局部搜索是优化与计算机科学中一种强大的启发式方法，其复杂度已在白盒与黑盒模型中得到研究。在黑盒模型中，给定一个图 $G = (V,E)$ 以及对函数 $f : V \to \mathbb{R}$ 的预言机访问权限。局部搜索问题是找到一个局部极小顶点 $v$，即对所有 $(u,v) \in E$ 满足 $f(v) \leq f(u)$，并尽可能少地使用查询。查询复杂度在网格与超立方体上已被充分理解，但在此之外的情形所知甚少。我们证明了在度数为常数的 $d$-正则扩张图上，局部搜索的查询复杂度为 $\Omega\left(\frac{\sqrt{n}}{\log{n}}\right)$，其中 $n$ 为顶点数。这与 Aldous (1983) 给出的常数度图的上界 $O(\sqrt{n})$ 在对数因子范围内匹配，意味着带热启动的最速下降是扩张图上本质最优的算法。先前工作中已知的最佳下界为 $\Omega\left(\frac{\sqrt[8]{n}}{\log{n}}\right)$，由 Santha 和 Szegedy (2004) 针对量子与随机算法给出。我们通过考虑更广义的图特征框架（如顶点拥塞与分离数）得到了该结果。我们证明对每张图，局部搜索的随机查询复杂度下界为 $\Omega\left(\frac{n^{1.5}}{g}\right)$，其中 $g$ 为图的顶点拥塞；以及 $\Omega\left(\sqrt[4]{\frac{s}{\Delta}}\right)$，其中 $s$ 为分离数、$\Delta$ 为最大度。对于分离数，此前由 Santha 和 Szegedy 针对量子与随机算法给出的界为 $\Omega\left(\sqrt[8]{\frac{s}{\Delta}} /\log{n}\right)$。我们还展示了 Aaronson (2006) 关系型对手方法的一个变体，该变体在所有随机算法上渐近至少与 Aaronson (2006) 中的版本同样强，且对某些问题严格更强。