关于基于拥塞与展开的局部搜索量子下界的注记

我们考虑局部搜索的量子查询复杂度作为图几何性质的函数。给定一个具有 $n$ 个顶点的图 $G = (V,E)$ 以及对函数 $f : V \to \mathbb{R}$ 的黑盒访问，目标是使用尽可能少的预言机查询找到一个局部极小值顶点 $v$，即对于所有 $(u,v) \in E$ 满足 $f(v) \leq f(u)$。我们证明了图 $G$ 上局部搜索的量子查询复杂度为 $\Omega\bigl( \frac{n^{\frac{3}{4}}}{\sqrt{g}} \bigr)$，其中 $g$ 是图的顶点拥塞。对于最大度为 $\Delta$ 的 $\beta$-展开图，这蕴含了一个 $\Omega\bigl(\frac{\sqrt{\beta} \; n^{\frac{1}{4}}}{\sqrt{\Delta} \; \log{n}} \bigr)$ 的下界。我们通过将强加权对手方法应用于 Br\^anzei、Choo 和 Recker (2024) 的构造来获得这些界限。作为推论，在常数度展开图上，我们推导出了一个 $\Omega\bigl(\frac{n^{\frac{1}{4}}}{ \sqrt{\log{n}}} \bigr)$ 的下界。这改进了 Santha 和 Szegedy (2004) 提出的 $\Omega\bigl( \frac{n^{\frac{1}{8}}}{\log{n}}\bigr)$ 的先前最佳量子下界。与经典情形相比，在量子情形下，我们的下界与此类图已知的最佳上界 $O\bigl( n^{\frac{1}{3}} \bigr)$ 之间仍然存在差距。