轮次限制下局部搜索与布劳威尔不动点的查询复杂度

我们考虑在图上定义的函数寻找局部最小值所需的查询复杂度。这一抽象问题是许多优化任务的基础，例如在训练深度神经网络时寻找损失函数的局部最小值。在此类应用中，每次查询都是一次昂贵的损失评估，因此并行化计算至关重要。这促使我们研究至多允许与预言机进行 $k$ 轮交互（亦称适应性）的局部搜索。我们聚焦于 $d$ 维网格 $\{1, 2, \ldots, n \}^d$，其中维度 $d \geq 2$ 为常数。我们的主要贡献是给出了表征在 $k$ 轮内寻找局部最小值的查询复杂度的算法与下界，分别对应 $k$ 为常数以及 $k$ 为 $n$ 的多项式的情况。我们所采用的轮次查询复杂度下界证明技术，作为对 Aaronson 提出的完全适应性情形下经典关系型对手方法的替代，可能具有独立的意义。该局部搜索分析还使我们能够刻画轮次限制下计算布劳威尔不动点的查询复杂度。