快乐集问题参数化复杂度的改进

我们为两个问题——最大快乐集（MaxHS）与最大边快乐集（MaxEHS，亦称 Densest k-Subgraph）——给出了固定参数可解（FPT）算法。给定图 $G$ 与整数 $k$，MaxHS 要求寻找一个含 $k$ 个顶点的集合 $S$，使得相对于 $S$ 的 $\textit{happy vertices}$（快乐顶点）数量最大化，其中若顶点 $v$ 与所有其邻居均在 $S$ 中，则 $v$ 是快乐的。我们证明 MaxHS 可在时间 $\mathcal{O}\left(2^\textsf{mw} \cdot \textsf{mw} \cdot k^2 \cdot |V(G)|\right)$ 与 $\mathcal{O}\left(8^\textsf{cw} \cdot k^2 \cdot |V(G)|\right)$ 内求解，其中 $\textsf{mw}$ 与 $\textsf{cw}$ 分别表示 $G$ 的 $\textit{modular-width}$（模宽）与 $\textit{clique-width}$（团宽）。这解决了文献中提出的开放问题。MaxEHS 问题是 MaxHS 的边变体，其中我们最大化 $\textit{happy edges}$（快乐边）的数量，即端点均在 $S$ 中的边。本文中我们证明 MaxEHS 可在时间 $f(\textsf{nd})\cdot|V(G)|^{\mathcal{O}(1)}$ 与 $\mathcal{O}\left(2^{\textsf{cd}}\cdot k^2 \cdot |V(G)|\right)$ 内求解，其中 $\textsf{nd}$ 与 $\textsf{cd}$ 分别表示 $G$ 的 $\textit{neighborhood diversity}$（邻域多样性）与 $\textit{cluster deletion number}$（簇删除数），且 $f$ 为某可计算函数。该结果意味着 MaxEHS 按 $\textit{twin cover number}$（孪生覆盖数）也是固定参数可解的。