快乐着色问题的下界

在本文中，我们研究最大快乐顶点和最大快乐边问题（简称 MHV 和 MHE）。最近，这些问题引起了大量关注，并在 Agrawal '17、Aravind 等人 '16、Choudhari 和 Reddy '18、Misra 和 Reddy '17 中得到了研究。我们工作的主要焦点是这些问题的计算复杂度下界。已建立的下界可分为以下几类：上述保证参数化的 NP 困难性、核化下界（回答 Misra 和 Reddy '17 的问题）、基于集合覆盖猜想和指数时间假设的指数下界，以及不可近似性结果。此外，我们提出了 MHV 的 $\mathcal{O}^*(\ell^k)$ 随机算法和 MHE 的 $\mathcal{O}^*(2^k)$ 算法，其中 $\ell$ 是所用颜色数，$k$ 是所需的快乐顶点或边数。考虑到已证明的下界，这些算法无法改进为亚指数级。