2-边着色图的顶点划分

有向图 $D=(V,A)$ 的 {\bf $\mathbf{k}$-多数着色} 是用 $k$ 种颜色对 $V$ 着色，使得每个顶点 $v\in V$ 的颜色与其自身颜色不同的外邻居数量，至少与其具有相同颜色的外邻居数量一样多。多数着色近年来受到广泛关注，仍有许多有趣的开放问题。受此启发以及有向图可以通过 2-边着色图来建模的事实，我们研究了关于 2-边着色图顶点划分的几个问题。特别地，我们研究具有以下性质的顶点划分：对于每个 $c=1,2$，每个顶点 $v$ 连接到其所属集合外部顶点的颜色为 $c$ 的边数，至少与其连到自身集合内部顶点的边数一样多。我们将具有 $k$ 个集合的此类顶点划分称为 {\bf $\mathbf{k}$-多数划分}。除其他结果外，我们证明了每个 2-边着色图都有一个 4-多数划分，并且判定一个 2-边着色图是否有 3-多数划分是 NP 完全的。我们还应用概率工具证明了，每个最小颜色度为 $\delta$ 且最大度 $\Delta \le \frac{e^{\delta/18}}{9\delta}-2$ 的 $2$-边着色图 $G$ 都有一个平衡多数 $3$-划分。