图的点染色2-边赋权

图$G$的$k$-边赋权$w$是指为每条边$e$赋予一个整数权重$w(e)\in \{1,\dots, k\}$。边赋权通过为每个$u \in V(G)$定义$c(u)=\sum_{u\sim e} w(e)$，自然地导出了一个点染色$c$。如果导出的染色$c$是正常的，即对任意边$uv \in E(G)$都有$c(u) \neq c(v)$，则图$G$的$k$-边赋权是点染色的。给定图$G$和点染色$c_0$，是否存在一种边赋权使得导出的点染色为$c_0$？我们通过考虑定义在Abel群上的边赋权来研究这一问题。已有证明表明每个3-可染色的图都存在点染色3-边赋权\cite{KLT}。是否每个2-可染色的图（即二部图）都存在点染色2-边赋权？我们得到了图存在点染色2-边赋权的几个简单充分条件。特别地，我们证明了3-连通二部图存在点染色2-边赋权。