图的权重可选色数的界

设 $G = (V,E)$ 为一个图，对于每个 $e \in E(G)$，令 $L_e$ 为一个实数列表。设 $w:E(G) \to \cup_{e \in E(G)}L_e$ 为一个边权重函数，使得对于每个 $e \in E(G)$ 有 $w(e) \in L_e$，并令 $c_w$ 为由 $c_w(v) = \sum_{e \ni v}w(e)$ 得到的顶点着色。我们寻求最小的 $k$，使得对于任意满足所有 $e \in E(G)$ 均有 $|L_e| \geq k$ 的列表选择 $\{L_e \,|\, e \in E(G)\}$，都存在一个边权重函数 $w$ 使得 $c_w$ 是正常的。这样的最小 $k$ 值即为 $G$ 的权重可选色数。这一着色问题由 Bartnicki、Grytczuk 和 Niwczyk (2009) 提出，是 Karo\'nski、{\L}uczak 和 Thomason (2004) 提出的著名的 1-2-3 猜想的列表变体。Bartnicki 等人基于组合空零点定理 (Combinatorial Nullstellensatz) 开发了一种解决该问题的方法。虽然他们证明了某些特定类别的图的权重可选色数至多为 $3$，但其方法是否可以扩展以证明对所有容许图均成立的界此前尚不清楚。在本文中，我们证明了这确实是可行的，表明每个图都是 $(\Delta + d + 1)$-权重可选色的，其中 $\Delta$ 是图的最大度，$d$ 是其退化度。事实上，我们还提供了关于全权重可选色性的更一般结果，即为边和顶点分配权重。此外，还针对某些类别的图积建立了改进的界。