图分解为满足 1-2-3 猜想的子图

著名的 1-2-3 猜想断言，每个无孤立边的图的边均可用 $1$、$2$ 和 $3$ 赋权，使得相邻顶点具有不同的加权度。该猜想一般情形下尚未解决。我们证明，当 $d\notin\{10,11,12,13,15,17\}$ 时，每个 $d$-正则图 ($d\geq 2$) 均可分解为至多 $2$ 个满足 1-2-3 猜想的子图（无孤立边），而在其余情形下可分解为至多 $3$ 个此类子图。此外，我们证明一般地，每个无孤立边的图均可分解为至多 $24$ 个满足 1-2-3 猜想的子图，改进了先前 $40$ 的最佳上界。这两个结果部分基于 Lovász 局部引理的应用。