图的强多数着色

受图和有向图的多数顶点着色以及图的多数边着色启发, 我们引入了强多数着色的两个概念。图 $G=(V,E)$ 的强多数顶点着色是一个映射 $c:V\rightarrow C$, 使得对于每个顶点 $v\in V$ 和每种颜色 $\alpha\in C$, $v$ 的邻居中至多有一半具有颜色 $\alpha$。$G$ 的强多数数, 记为 Maj$(G)$, 是此类着色中最少的颜色数。我们证明 Maj$(G)$ 可以任意大, 并对于每个无悬挂顶点的图 $G$ 证明了紧的上界 Maj$(G)\le 2\Delta(G)+1$。图 $G$ 的强多数边着色是一个映射 $c:E\rightarrow C$, 使得对于每条边 $e\in E$ 和每种颜色 $\alpha\in C$, 与 $e$ 相邻的边中至多有一半具有颜色 $\alpha$。$G$ 的强多数指数, 记为 Maj'$(G)$, 是此类着色中最少的颜色数。结果表明, 所有可容许图 $G$ 的 Maj'$(G)$ 存在一个常数上界。我们猜想该常数小至 4, 并对众多图类证实了此猜想。