次模成本分配问题及其应用

我们研究最小次模成本分配问题（MSCA）。在该问题中，给定一个有限基础集 $V$ 和 $V$ 上的 $k$ 个非负次模集函数 $f_1 ,..., f_k$。目标是将 $V$ 划分为 $k$ 个（可能为空的）集合 $A_1 ,..., A_k$，使得总和 $\sum_{i=1}^k f_i(A_i)$ 最小化。若干被广泛研究的问题，如非度量设施选址问题、图和超图中的多路割、均匀度量标记及其推广，均可证明为 MSCA 的特例。本文考虑通过次模函数的 Lovász 扩张获得的凸规划松弛。这使我们能够以统一的方式理解若干先前的松弛和舍入过程，并为若干问题发展新的公式化表述和近似算法。特别地，我们为超图多路划分问题给出了 $(1.5 - 1/k)$-近似。当 $\Delta$ 为最大超边尺寸时，我们还为超图多路割问题给出了 $\min\{2(1-1/k), H_{\Delta}\}$-近似。这两个问题均推广了图中的多路割问题，且超图割问题在近似意义上等价于图中的节点加权多路割问题。