具有一般分裂函数的超图割

图中的最小 $s$-$t$ 割问题是组合优化中最基本的问题之一，图割贯穿于离散数学、理论计算机科学、运筹学和数据科学中的各类算法。虽然图是建模成对关系的标准模型，但超图提供了建模多路关系的灵活性，现已成为复杂数据与系统的标准模型。然而，当从图推广到超图时，“割超边”的概念不那么明确，因为一条超边的节点可以以多种方式被划分。在此，我们通过考虑在超图中分离两个终端节点、并使分裂超边上的惩罚之和最小的问题，建立了超图割的框架。在我们的设定中，分裂同一条超边的不同方式具有不同的惩罚，该惩罚由我们称之为分裂函数的形式所编码。我们的框架开启了超图割基础研究的丰富空间。我们首先确定了一类自然的基于基数的超边分裂函数，其仅依赖于划分两侧节点数的多少。在这种情况下，我们证明一般超图 $s$-$t$ 割问题可归约为易处理的图 $s$-$t$ 割问题，当且仅当分裂函数是子模的。我们还确定了一大类非子模分裂函数，其对应的问题是 NP-hard 的。我们还分析了到至少三个终端节点的多路割的扩展，并确定了一类自然的分裂函数，使得该问题可在保持近似比的意义下归约为图中的节点加权多路割问题，同样以子模性为条件。最后，我们概述了关于一般超图割问题的若干开放问题。