次梯度下降的不确定性量化及其在离散问题松弛中的应用

我们考虑最小化一个依赖于不确定参数 $\theta$ 的凸函数的问题。目标函数中的不确定性意味着最优值 $x^*(\theta)$ 也是 $\theta$ 的函数。我们提出一种高效方法来计算 $x^*(\theta)$ 及其统计特性。我们使用沿截断基的 $x^*(\theta)$ 的混沌展开，并研究一种计算最优系数的重启次梯度方法。我们建立了该方法随基函数数量增加（从而优化问题维数增加）的收敛速率。我们给出了次梯度下降的非渐近收敛速率，建立在先前关于梯度下降和加速梯度下降的工作之上。此外，本工作显式处理了投影问题，并提出了一种处理非平凡投影的方法。我们展示了该算法如何借助 min s,t-cut 图问题的（凸）Lovasz 扩展来量化离散问题中的不确定性。