k-均匀k-部超图上顶点覆盖的近最优NP困难性

我们研究在给定k-部划分的k-均匀k-部超图上计算最小顶点覆盖的问题。在二分图（k = 2）上，最小顶点覆盖可在多项式时间内计算。对于一般的k，该问题由Lovász研究，他基于标准LP松弛给出了一个k/2-近似。Aharoni、Holzman和Krivelevich的后续工作表明该LP松弛具有 (k/2 - o(1)) 的紧积分间隙。虽然已知该问题对于k >= 3是NP困难的，但Guruswami和Saket在近期工作中首次给出了k/4 - ε的非平凡近似因子NP困难性。他们还证明，假设Khot的唯一博弈猜想，该问题具有k/2 - ε的不可近似性，这意味着Lovász结果的最优性。在本工作中，我们证明该问题在k/2 - 1 + 1/(2k) - ε因子内是NP难近似的。对于k >= 4，此困难性因子与最优值相差至多一个加性常数1。我们的归约依赖于Dinur等人的多层PCP，并使用了一个基于有偏Long Code的组件，该组件改编自Aharoni等人的LP积分间隙。我们归约的性质要求分析多个具有不同偏差的Long Code，为此我们证明了所谓集合族的交叉相交集合的结构性质——其变体已在极值集合论中被研究。