最密 k 子图问题强半定规划松弛的多项式完整性间隙

最密 k 子图 (DkS) 问题（即寻找具有最大边数的 k 规模子图）是近似算法领域中的著名难题之一。已知的 DkS 上下界之间存在显著差距：当前最佳算法给出约 ~O(n^{1/4}) 的近似比，而即使要证明一个小的常数因子难度，也需要比 P ≠ NP 强得多的假设。除了设计更好算法的兴趣外，近期许多结果利用了最密 k 子图及其变体的猜想难度。因此，理解 DkS 的可近似性是一项重要挑战。在这项工作中，我们为在多项式因子内近似 DkS 的难度提供了证据。具体而言，我们揭示了来自 SDP 层级的强半定规划在求解最密 k 子图时的局限性。我们的结果包括：* 对于 DkS 的 Sherali-Adams 松弛的 Ω(log n/log log n) 轮，完整性间隙的下界为 Ω(n^{1/4}/log^3 n)。这也适用于通过添加 SDP 约束从 Sherali-Adams 获得的松弛。我们的间隙实例实际上是 Erdős-Rényi 随机图。* 对于每个 ε > 0，DkS 的 Lasserre SDP 松弛的 n^{Ω(ε)} 轮的完整性间隙下界为 n^{2/53-ε}，且对于 n^{1-ε} 轮存在 n^{Ω_ε(1)} 的间隙。我们的构造通过从大域上某类最大约束满足问题的随机实例进行归约来实现。在缺乏 DkS 不可近似性结果的情况下，我们的结果表明，即使最强大的 SDP 也无法突破 n^{Ω(1)} 的因子，事实上，即使改进目前已知最佳的 n^{1/4} 因子也是当前技术的一个障碍。