稠密 $k$-子图的和平方下界

给定图与整数 $k$，稠密 $k$-子图（Densest $k$-Subgraph）是寻找具有最多边数的 $k$ 顶点子图的算法任务。这是一个基础问题，数十年来受到深入研究，应用横跨众多领域。最先进算法为 Bhaskara 等人 [STOC '10] 给出的 $O(n^{1/4 + \epsilon})$-因子近似（对任意 $\epsilon > 0$）。此外，所谓对数密度框架预测该结果最优，即高效算法不可能实现 $O(n^{1/4 - \epsilon})$-因子近似。在平均情况下，稠密 $k$-子图是一个典型的含噪推断任务，被猜想表现出统计-计算鸿沟。本工作中，我们通过给出针对强大和平方（SoS）算法的匹配下界，提供了稠密 $k$-子图困难性的最强证据；SoS 是基于凸规划的元算法，对许多优化与推断问题取得最先进算法保证。对 $k \leq n^{\frac{1}{2}}$，我们获得对数密度框架所预测困难区间上的 $n^{\delta}$ 阶 SoS 下界。为证明此结果，我们利用了 Barak 等人 [FOCS '16] 开创的用于证明平均情况下问题 SoS 下界的现代框架。一个关键问题是输入中比平均更稠密的微小子图会极大影响候选伪期望算子在该子图附近的值。为应对此挑战，我们基于正最小顶点分隔符设计了新颖矩阵分解方案。随后我们证明一个交集权衡引理，表明使用该分隔符时误差项确实很小。