提升平方和下界：从2次到4次
计算复杂性
2019-11-05 v1 数据结构与算法
摘要
4次平方和(SoS) SDP松弛是一种强大的算法，涵盖了包括MaxCut、Sparsest Cut、所有MaxCSP和张量PCA在内的广泛问题的最佳已知多项式时间算法。尽管它是一个具有相对较低计算复杂度的显式算法，但4次SoS SDP的局限性尚未被充分理解。例如，现有的积分间隙并未排除通过4次SoS SDP为Vertex Cover提供(2-ε)-近似算法或为MaxCut提供(0.878+ε)-近似算法的可能性，其中每一种都将反驳著名的唯一博弈猜想。我们展示了从布尔变量上的2次平方和SDP(Goemans-Williamson SDP)的解到4次平方和SDP松弛的解的显式映射。借助该映射，可以将2次SoS SDP松弛的下界提升为相应的4次SoS SDP下界。我们使用该方法获得了随机d-正则图上MaxCut、统计物理中的Sherington-Kirkpatrick模型以及PSD Grothendieck问题的4次SoS SDP下界。我们的构造在候选SDP向量中使用了伪标定的思想，而此前该思想仅用于生成候选矩阵，并通过大量技术性工作证明其是PSD的。此外，我们开发了另一种技术来界定在SoS SDP背景下出现的图矩阵的谱范数。该技术在许多情况下比迹方法（此前唯一用于此目的的技术）更简单且给出更紧的界。
引用
@article{arxiv.1911.01411,
title = {Lifting Sum-of-Squares Lower Bounds: Degree-$2$ to Degree-$4$},
author = {Sidhanth Mohanty and Prasad Raghavendra and Jeff Xu},
journal= {arXiv preprint arXiv:1911.01411},
year = {2019}
}
备注
54 pages