舍入平方和松弛

我们提出了一种通用方法，用于对通过平方和（Sum-of-Squares）方法（Lasserre 层级）获得的半定规划松弛进行舍入。我们的方法基于利用这些松弛与平方和证明系统之间的联系，将*组合算法*（一种将解上的分布映射为（可能较弱的）解的算法）转化为*舍入算法*，从而将松弛的解映射为原始问题的解。利用该方法，我们获得了针对三个著名问题的自然变体的改进结果：1) 我们给出了一种准多项式时间算法，用于近似欧几里得单位球上具有非负系数的低次多元多项式的最大值。除了其本身的研究价值外，这与量子信息理论中的一个开放问题相关，且我们的技术已在该领域带来了改进结果（Brand\~{a}o 和 Harrow, STOC '13）。2) 我们给出了一种多项式时间算法，给定 $\mathbb{R}^n$ 的一个 $d$ 维子空间，该子空间（几乎）包含大小为 $n/k$ 的集合的特征函数，算法能在该子空间中找到一个向量 $v$，满足 $|v|_4^4 > c(k/d^{1/3}) |v|_2^2$，其中 $|v|_p = (E_i v_i^p)^{1/p}$。除了作为一种自然的松弛外，这也受到 Barak 等人（STOC 2012）所示的小集展开（Small Set Expansion）问题联系的启发，我们的结果对该问题产生了一定的改进。3) 我们利用这种 $L_4$ 与 $L_2$ 稀疏性的概念，获得了一种多项式时间算法，在 $\mathbb{R}^n$ 的随机 $d$ 维子空间中恢复植入的 $\mu$-稀疏向量 $v$ 时，具有显著改进的保证。如果 $v$ 有 $\mu n$ 个非零坐标，只要 $\mu < O(\min(1,n/d^2))$，我们就能以高概率恢复它；对于 $d < n^{2/3}$ 的情况，这改进了先前本质上要求 $\mu < O(1/\sqrt{d})$ 的方法。