球面上非负形式乘积的半定松弛

我们研究在 n 个变量的实或复球面上最大化 d 个低次非负形式的几何平均的问题。我们证明这一高度非凸问题即使是当这些形式为二次时也是 NP 难的，并且等价于在球面上优化一个次数为 O(d) 的齐次多项式。基于标准 Sum-of-Squares 的该多项式优化问题的凸松弛需要求解规模为 $n^{O(d)}$ 的半定规划（SDP），其乘法近似保证为 $\Omega(\frac{1}{n})$。我们利用该多项式的紧表示引入了规模为 n 和 d 的多项式的 SDP 松弛，并证明当最大化非负二次形式的几何平均时它实现了常数因子的乘法近似。我们也表明该分析是渐近紧的，存在一系列实例使得当 $d \rightarrow \infty$ 时松弛与真实最优值之间的间隙趋近于该常数因子。接下来我们提出了一系列复杂度递增的中间松弛，它们插值到完整的 Sum-of-Squares 松弛，以及一种从任意中间松弛的解中找出近似解的舍入算法。最后我们表明该方法可推广到任意次非负形式乘积的松弛。