带球约束非凸二次规划的轻微提升凸松弛

在 $\mathbb{R}^n$ 中 $m$ 个球的交集上全局优化非凸二次型，已知对固定的 $m$ 是多项式时间可解的。此外，当 $m=1$ 时，标准半定松弛是精确的。当 $m=2$ 时，最近已证明可使用基于本质上 $m=1$ 情况的两份副本的析取半定公式构造精确松弛。然而，对于 $m \ge 3$，尚无已知的显式、易处理、精确的凸表示。在本文中，我们为所有 $m$ 构造了一个新的、多项式规模的半定松弛，其不采用析取方法。我们证明我们的松弛对 $m=2$ 是精确的。然后，对于 $m \ge 3$，我们经验性地表明，与现有松弛相比它快速且强。该松弛的关键思想是将原问题简单提升到低 $n+1$ 维。扩展此构造：(i) 我们证明在 $\|x\| \le \min \{ 1, g + h^T x \}$ 上的非凸二次规划具有精确的半定表示；且 (ii) 我们为两个椭球交集上的二次规划构造了新的松弛，其全局求解了文献中基准集合的所有实例。