线性和半定规划层次的拉格朗日松弛视角

我们考虑一般多项式优化问题P: f^*=min{f(x): x∈K}，其中K是紧致基本半代数集。我们首先证明标准拉格朗日松弛产生一个下界，可以任意接近全局最优f^*，前提是它应用于一个等价于P的问题\tilde{P}，其中在P的初始描述中添加了足够多的冗余约束（初始约束的乘积）。接下来我们证明P的标准LP松弛层次（在Sherali-Adams的RLT精神下）可以解释为上述拉格朗日松弛的粗暴简化，其中非负多项式（系数待定）被替换为恒等于零的常数多项式。受此启发，我们通过进行一个不那么粗暴的简化，提供了一个LP层次的系统改进，结果得到一个参数化的半定规划层次（不再是线性规划）。对于参数化层次中的每个半定规划，半定约束具有固定大小O(n^k)，与层次中的秩无关，这与标准半定松弛层次形成对比。参数k由用户决定。当应用于一类非平凡凸问题时，参数化层次的第一个松弛是精确的，而LP层次不能有限收敛。当应用于0/1规划时，它至少与半定松弛层次中的第一个一样好。然而，精确性的障碍仍然存在，并进行了简要分析。最后，标准半定层次也可以视为扩展拉格朗日松弛的简化，但精神不同，因为允许平方和（而非标量）乘子。