关于凸多项式不等式与多项式的半无限系统

我们考虑如下形式的多项式不等式半无限系统 $$\mathbf{K}:=\{x\in\mathbb{R}^m\mid p(x,y)\ge 0,\ \ \forall y\in S\subseteq\mathbb{R}^n\},$$ 其中 $p(x,y)$ 是变量 $x$ 与参数 $y$ 的实多项式，指标集 $S$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中的基本半代数集，且对每个 $y\in S$，$-p(x,y)$ 关于 $x$ 是凸的。我们提出一种构造 $\mathbf{K}$ 的近似半定表示的步骤。有两个指标用于索引这些近似半定表示。随着两个指标增大，这些半定表示集分别扩张与收缩，并且在某些假设下可尽可能紧密地逼近 $\mathbf{K}$。在某些特殊情形下，我们可以固定两个指标之一或两者。进而，我们考虑在 $\mathbf{K}$ 上最小化凸多项式的优化问题。我们通过构造 $\mathbf{K}$ 的近似半定表示所用的类似策略，给出该优化问题的 SDP 松弛方法。在特定假设下，该优化问题的一些近似极小元也可由 SDP 松弛获得。在某些特殊情形下，我们证明该优化问题的 SDP 松弛是精确的，且可提取所有极小元。