计算最近结构化秩亏矩阵的凸松弛方法

给定一个仿射矩阵空间 $\mathcal{L}$ 和一个矩阵 $\Theta\in \mathcal{L}$，考虑在 $\mathcal{L}$ 上计算距 $\Theta$ 最近的秩亏矩阵（关于 Frobenius 范数）的问题。这是一个非凸问题，在控制理论、计算机代数和计算机视觉中有若干应用。我们引入了一种新的半定规划（SDP）松弛，并证明在低噪声 regime（即 $\Theta$ 接近秩亏）下，它总能给出该非凸问题的全局极小元。我们的 SDP 是首个针对此问题且具有可证明保证的凸松弛。我们在系统辨识、近似 GCD、三角测量和相机标定等例子中评估了 SDP 松弛的性能。在非对抗噪声下，我们的松弛能可靠地获得全局极小元，且其噪声容忍度显著优于最先进的方法。