针对不经意离群值鲁棒的高阶平方和松弛

我们考虑形如 $Y=X^*+N$ 的估计模型，其中 $X^*$ 是我们希望恢复的 $m$ 维信号，$N$ 为对称分布噪声，其在除一小部分 $\alpha$ 比例的条目外可能无界。我们引入一类算法，在温和假设下可恢复所有估计问题中的信号 $X^*$，只要存在一个平方和算法能在噪声 $N$ 为高斯时成功恢复信号 $X^*$。这本质上表明，为某估计问题设计带高斯噪声的平方和算法，就足以得到适用于对称噪声模型的算法。我们的框架远远超越了先前关于对称噪声模型的结果，甚至对对抗性扰动也具有鲁棒性。作为具体例子，我们研究了两个在重尾噪声下此前未知高效算法的问题：张量 PCA 与稀疏 PCA。对于前者，当信噪比至少为 $\tilde{O}(n^{p/4}/\alpha)$ 时，我们的算法在多项式时间内恢复主成分，该结果与当前高斯噪声下已知最佳算法保证（至多对数因子）相匹配。对于后者，我们的算法在拟多项式时间内运行，并与高斯噪声情形下拟多项式时间算法的现有最优保证一致。利用从植入团问题出发的归约，我们提供证据表明拟多项式时间对于对称噪声下的稀疏 PCA 很可能是必要的。在证明中，我们使用了伪期望集合的覆盖数界，这是通过对解集合的高斯复杂度在平方和内证明上界获得的。这种界定伪期望集合覆盖数的方法本身可能具有独立意义，并可在未来工作中找到其他应用。