平方和方法在探测隐藏结构中的力量
数据结构与算法
2017-10-31 v1 计算复杂性
摘要
我们通过平方和半定规划层次结构（SoS）的视角研究了植入问题——即在随机噪声输入中寻找隐藏结构。这一类强大的半定规划最近为植入问题产生了许多新算法，通常在恢复解的准确性和对噪声的鲁棒性方面实现了最佳的多项式时间保证。近期工作的一个主题是设计谱算法，使其对植入问题的保证与 SoS 算法相匹配。经典谱算法往往无法做到这一点：这些新谱算法的巧妙之处在于利用了其条目为输入变量低次多项式的矩阵的谱结构。我们证明，对于一大类植入问题，包括反驳随机约束满足问题、张量和稀疏 PCA、最密 k-子图、随机块模型中的社区检测、植入团簇等，d 次矩阵多项式的特征值与大约 d 次的 SoS 半定规划同样强大。因此，对于此类问题，总是可以在不求解大型半定规划的情况下匹配 SoS 的保证。利用关于 SoS 算法和低次矩阵多项式的相关思想（并受 Barak 等人近期关于 SoS 和植入团簇问题工作的启发），我们为张量和稀疏主成分分析问题证明了新的近乎紧致的 SoS 下界。我们要为稀疏主成分分析提供的下界首次表明，超越该问题的现有算法可能需要亚指数时间。
引用
@article{arxiv.1710.05017,
title = {The power of sum-of-squares for detecting hidden structures},
author = {Samuel B. Hopkins and Pravesh K. Kothari and Aaron Potechin and Prasad Raghavendra and Tselil Schramm and David Steurer},
journal= {arXiv preprint arXiv:1710.05017},
year = {2017}
}