基于植入仿射平面的 Sherrington-Kirkpatrick 平方和下界

平方和（SoS）层次是一种半定规划元算法，为诸如 Max-$k$-CSP 和张量 PCA 等许多优化问题捕获了最先进的多项式时间保证。另一方面，SoS 下界提供了困难性证据，这对于可能 unavailable NP-困难性的平均情况问题尤为相关。在本文中，我们考虑如下平均情况问题，称之为\emph{植入仿射平面}（PAP）问题：给定 $\mathbb{R}^n$ 中的 $m$ 个随机向量 $d_1,\ldots,d_m$，我们能否证明不存在向量 $v \in \mathbb{R}^n$ 使得对所有 $u \in [m]$ 有 $\langle v, d_u\rangle^2 = 1$？换言之，我们能否证明 $m$ 个随机向量并非全部包含于距原点等距的两平行超平面中？我们证明对于 $m \leq n^{3/2-\epsilon}$，以高概率，度数为 $n^{\Omega(\epsilon)}$ 的 SoS 无法反驳此类向量 $v$ 的存在。当向量 $d_1,\ldots,d_m$ 选自多元正态分布时，PAP 问题等价于证明 $\mathbb{R}^m$ 的随机 $n$ 维子空间不包含布尔向量。如 Mohanty--Raghavendra--Xu [STOC 2020] 所示，该问题的下界意味着 Sherrington-Kirkpatrick 哈密顿量能量上界认证问题的下界，因此我们的下界意味着 Sherrington-Kirkpatrick 问题认证版本的一个度数为 $n^{\Omega(\epsilon)}$ 的 SoS 下界。