植入团问题的平方和下界

在随机图中寻找团以及密切相关的“植入”团变体（即在随机 G(n, 1/2) 图中植入一个大小为 k 的团）一直是算法设计研究的热点。尽管付出了巨大努力，已知最好的多项式时间算法仅能解决 k ~ sqrt(n) 的问题。在本文中，我们研究了在平方和（Sum-of-squares）层次算法下植入团问题的复杂性。我们证明了该模型的第一个平均情况下界：对于 G(n,1/2) 中几乎所有图，SOS 层次的 r 轮无法找到一个植入的 k-团，除非 k > n^{1/2r}（相差对数因子）。因此，对于任意常数轮数，这种强大算法类无法找到大小为 n^{o(1)} 的植入团。这是通过针对随机图上最大团问题的自然表述在 SOS 与 Lasserre 层次上的可积性间隙证明的，而该间隙又源于 Positivestellensatz 证明系统的次数下界。我们遵循此类证明的常规方法。首先，我们针对每个固定输入图，为表示问题的给定多项式方程组引入一个自然的“对偶证书”（也称为“向量解”或“伪期望”）。然后我们表明，与该校证相关的矩阵在输入图的选择下以高概率为 PSD（半正定）。这需要使用某些工具。其一是结合方案理论，特别是 Johnson 方案的特征空间与特征值。其二是我们开发的一种组合方法，用于计算（通过迹）某些条目高度相关的随机矩阵的范数界；我们希望该方法在其他地方也有用。