4次SOS规划中植入团问题的紧下界

我们为植入团问题的4次平方和（Sum-of-Squares）半定规划松弛给出了一个$\tilde{\Omega}(\sqrt{n})$的下界。具体而言，我们证明在Erdős-Rényi随机图$G(n,\tfrac{1}{2})$上，以高概率存在团问题的4次SOS松弛的一个可行点，其目标值为$\tilde{\Omega}(\sqrt{n})$，因此该规划无法区分一个随机图与一个植入了大小为$\tilde{O}(\sqrt{n})$的团的随机图。这个界是紧的。我们基于Deshpande和Montanari以及Meka等人的工作，他们分别给出了$\tilde{\Omega}(n^{1/3})$和$\tilde{\Omega}(n^{1/4})$的下界。我们通过对其工作中提出的SDP解进行扰动，并证明当目标值接近$\tilde{\Omega}(n^{1/2})$时该扰动保持半正定性，从而改进了他们的结果。在一项独立工作中，Hopkins、Kothari和Potechin [HKP15] 对4次SOS松弛得到了类似的下界。