平方和证明的紧大小-度界

我们展示了关于 $n$ 个变量的 $4$-CNF 公式族，它们具有度（又称秩）$d$ 的平方和（SOS）不可满足性证明，但对于某个通用常数 $\delta$，从常数一直到 $n^{\delta}$ 的 $d = d(n)$ 值，需要大小为 $n^{\Omega(d)}$ 的 SOS 证明。这表明通过使用 Lasserre 半定规划松弛来寻找度-$d$ SOS 证明所得到的 $n^{O(d)}$ 运行时间在指数常数因子范围内是最优的。我们通过将可表示为低度 SOS 推导的 $\mathsf{NP}$-归约与 [Kraj\'i\v{c}ek '04] 和 [Dantchev and Riis'03] 中相对化 CNF 公式的思想相结合，然后应用 [Atserias, M\"uller, and Oliva '13] 和 [Atserias, Lauria, and Nordstr\"om '14] 中的限制参数法，确立了这一结果。这产生了一种将 SOS 度下界放大为大小下界的通用方法，并且推广了 [ALN14] 中的方法，以分别从宽度、度和秩的下界获得证明系统 resolution、polynomial calculus 和 Sherali-Adams 的大小下界。