平方和次数规约及其在聚类与鲁棒矩估计中的应用

我们开发了一个通用框架，通过引入新变量来显著降阶平方和证明。为说明该框架的威力，我们将其用于加速先前基于平方和的、针对两个重要估计问题（聚类和鲁棒矩估计）的算法。所得算法提供与先前最优算法相同的统计保证，但运行时间显著更快。粗略地说，给定维度 $d$ 中 $n$ 个点的样本，我们的算法可在时间 $d^{O(\ell)}\cdot n^{O(1)}$ 内利用 $order-\ell$ 矩，而朴素实现需要时间 $(d\cdot n)^{O(\ell)}$。由于对上述应用而言典型样本量为 $d^{\Theta(\ell)}$，我们的框架将运行时间从 $d^{O(\ell^2)}$ 改进到 $d^{O(\ell)}$。