凸性与 SOS-凸性之间差距的完整刻画

本文的第一个贡献是证明，基于平方和 (sos) 的三个用于判定多项式凸性的自然充分条件——分别通过凸性的定义、一阶刻画和二阶刻画——是等价的。这三种等价的代数条件，以下称为 sos-凸性，可以通过半定规划来检验，而判定凸性则是 NP 难的。如果分别用 $\tilde{C}_{n,d}$ 和 $\tilde{\Sigma C}_{n,d}$ 表示 $n$ 个变量、次数为 $d$ 的凸多项式集合和 sos-凸多项式集合，那么我们的主要贡献是证明 $\tilde{C}_{n,d}=\tilde{\Sigma C}_{n,d}$ 当且仅当 $n=1$ 或 $d=2$ 或 $(n,d)=(2,4)$。我们还对型（齐次多项式）给出了完整刻画，除了 $(n,d)=(3,4)$ 的情况，这是与 G. Blekherman 的合作工作，将另行发表。我们的结果表明，$n$ 个变量、次数为 $d$ 的凸型集合 $C_{n,d}$ 等于 sos-凸型集合 $\Sigma C_{n,d}$ 当且仅当 $n=2$ 或 $d=2$ 或 $(n,d)=(3,4)$。为了证明这些结果，我们特别给出了 $\tilde{C}_{2,6}\setminus\tilde{\Sigma C}_{2,6}$ 和 $\tilde{C}_{3,4}\setminus\tilde{\Sigma C}_{3,4}$ 中多项式的显式例子，$C_{3,6}\setminus\Sigma C_{3,6}$ 和 $C_{4,4}\setminus\Sigma C_{4,4}$ 中型的显式例子，以及一个从 $n$ 个变量、次数为 $d$ 的非负但非 sos 型构造 $C_{n,d+2}\setminus\Sigma C_{n,d+2}$ 中型的通用步骤。尽管原因各不相同，但引人注目的结果是，凸多项式（相应地，型）恰好是非负多项式（相应地，型）为平方和的那些情况下才是 sos-凸的，正如 Hilbert 所刻画的那样。