双二次型的平方和分解与秩界

我们研究双二次型的 SOS 性质。对于部分对称双二次型类，我们建立了半正定性的充分必要条件，并证明每个半正定部分对称双二次型都是双线性型的平方和。这推广了全对称双二次型的已知结果。我们描述了一种高效的计算程序来构造 SOS 分解，利用了相关矩阵表示的 Kronecker 积结构。我们引入了简单双二次型。对于 $m \ge 2$，我们给出一个 $m \times 2$ 的半正定双二次型，并证明它可以表示为 $m+1$ 个平方和，但不能表示为 $m$ 个平方和。这给出了 $m \times 2$ 双二次型 SOS 秩的下界，并表明先前证明的关于 $2 \times 2$ 半正定双二次型可表示为三个平方和、$3 \times 2$ 半正定双二次型可表示为四个平方和的结果是紧的。我们还给出了一个 $3 \times 3$ 的 SOS 双二次型，它可以表示为六个平方和，但不能表示为五个平方和。我们给出一个 $2 \times 2$ 半正定双二次型，并证明它可以表示为三个平方和，但不能表示为两个平方和。此外，我们给出一个 $3 \times 2$ 半正定双二次型，并证明它可以表示为四个平方和，但不能表示为三个平方和。这些表明先前证明的关于 $2 \times 2$ 半正定双二次型可表示为三个平方和、$3 \times 2$ 半正定双二次型可表示为四个平方和的结果是紧的。此外，我们对任意 SOS 双二次型建立了一个通用上界 SOS-rank$(P) \le mn-1$，它改进了平凡界 $mn$，并在小维度下是紧的。