简单双二次型与对角双二次型的 SOS 秩问题研究

我们研究简单双二次型和对角双二次型的和平方 (sum-of-squares, SOS) 秩。对于 $3 \times 3$ 变量的简单双二次型，我们证明其最大 SOS 秩恰为 $6$，并指出该秩由特定六项形式达成。进一步地，我们证明对任意 $m \ge 3$，必存在一个 $m \times m$ 简单双二次型，其 SOS 秩恰为 $2m$。此外，我们指出对所有 $m, n \ge 3$，$m \times n$ 简单双二次型的最大 SOS 秩至少为 $m+n$，从而说明 $\mathrm{BSR}(m,n) \ge m+n$。对于非负系数的对角双二次型，我们证明其 SOS 秩上界为 $7$，此结果改进了 $3 \times 3$ 形式的一般上界 $8$。这些结果为双二次型的极端 SOS 秩提供了新的下界和上界，并凸显了结构在降低平方数目方面的作用。