三边与双二次型的 SOS 秩：扩展增广 Zarankiewicz 框架

有限增广 Zarankiewicz 数 $z_L(m,n)$ 对应于无 $C_4$ 二部图中的 2-边 $(i,j;k,l)$，每条边代表一个平方项 $(x_i y_j + x_k y_l)^2$。我们引入了代表 $(x_i y_j + x_k y_l + x_p y_q)^2$ 的 3-边 $(i,j;k,l;p,q)$，并通过禁止广义 $C_4$ 环定义了数字 $z_{3L}(m,n)$ 和 $z_{3A}(m,n)$。我们证明，对于任何没有此类环的 3-边增广图，对应的双重简双二次型具有等于总边贡献数的 SOS 秩。作为应用，我们证明了 $z_{3L}(5, 3) = 10$，$z_{3L}(6,4) \ge 16$ 且 $z_{3L}(5,5) \ge 16$，改进了已知的界限 $z_L(5, 3) = 9$，$z_L(6,4)=14$ 和 $z_L(5,5)=14$。$5 \times 5$ 和 $6 \times 4$ 情形中的构造自然地被解释为 3-边，为超越有限增广 Zarankiewicz 数的 SOS 秩下界提供了统一的组合框架。