半定规划方法中多项式优化的线性矩阵不等式的最优规模

缩写 LMI 和 SOS 分别代表“线性矩阵不等式(linear matrix inequality)”和“平方和(sum of squares)”。已知在 $n$ 个变量、次数至多为 $2d$ 的 SOS 多项式锥 $\Sigma_{n,2d}$ 具有一个规模为 $\binom{n+d}{n}$ 的 LMI 的半定扩展表述。换言之，$\Sigma_{n,2d}$ 是某个由规模为 $\binom{n+d}{n}$ 的一个 LMI 所描述的集合的线性像。我们证明 $\Sigma_{n,2d}$ 不存在使用有限多个规模小于 $\binom{n+d}{n}$ 的 LMI 的半定扩展表述。因此，$\Sigma_{n,2d}$ 的标准扩展表述在 LMI 规模方面是最优的。作为一个直接推论，$k \times k$ 对称半正定矩阵锥不存在使用有限多个规模小于 $k$ 的 LMI 的扩展表述。我们还针对多项式优化中考虑的其他锥（如截断二次模、余正矩阵与完全正矩阵锥以及非负回路多项式之和的锥）推导了类似结果。