关于 $k$-项式平方和

2005 年，Boman 等人引入了实对称半正定矩阵因子宽度的概念。这是使矩阵 $A$ 可写为 $A=VV^T$ 且 $V$ 的每一列至多含 $k$ 个非零元素的最小正整数 $k$。具有有界因子宽度的矩阵锥给出了 PSD 锥的一族内层逼近。在多项式优化背景下，具有因子宽度 $k$ 的多项式的 Gram 矩阵对应于该多项式是支撑集至多为 $k$ 的多项式的平方和。近来，Ahmadi 与 Majumdar 探讨了 $k=2$ 时的这一联系，并提议在半定规划中将对方和多项式的依赖放宽为对二项式平方和多项式（sobs；他们称之为 sdsos）的依赖，由此半定规划可化简为二阶规划，以可容忍的精度损失为代价获得可扩展性。借此他们切入了可追溯至 Reznick 与 Hurwitz 的 sobs 研究。本文中，我们将证明关于有界因子宽度矩阵锥及其对偶锥几何的一些结果，并用它们推导关于利用标准乘子以 $k$-项式平方和证明二次型非负性之局限的新结果。特别地，我们将表明：对于对称二次型它们从无用处，对于任意二次型若 $k=2$ 则无用，对于任意四元二次型若 $k=3$ 则无用。此外我们给出一些证据，表明这些情形已构成此类情形的完整列表。