$k$-子集超立方体上的对称平方和

我们考虑如下问题：寻找平方和表达式，以确立对称多项式在离散超立方体上的非负性，该超立方体的坐标由 $[n]$ 的 $k$ 元子集索引。为简便起见，我们聚焦于 $k=2$ 的情形，但我们的结果可自然推广至所有 $k \geq 2$ 的值。我们开发了一种适用于我们设定的 Gatermann-Parrilo 对称化简方法的变体，该方法允许进行多项简化并与 flag 代数建立联系。我们证明，每个具有固定次数平方和表达式的对称多项式，也具有一个简洁的平方和表达式，其大小仅取决于次数而与变量数无关。我们的方法规避了应用 Gatermann-Parrilo 方法所需的许多技术困难，并在获得具有组合意义的简洁平方和表达式方面提供了灵活性。作为结果的副产品，我们为 Razborov 在其 flag 代数演算中引入的 flag 概念提供了一个自然的表示论证明。此外，这一联系揭示了一族无法用任何固定 flag 集合认证的非负多项式，从而在我们有限设定的背景下回答了 Razborov 的一个问题。