基于测试态的共正性的平方和证书
代数几何
2023-10-20 v1 环与代数
摘要
1995年，Reznick 展示了一个显然事实的重要变体：任意半正定（实）二次型是线性型的平方和：如果一个型（任意偶次）是正定的，那么它在乘以其变量平方和的一个足够高次幂后成为一个型的平方和。如果该型只是半正定而非正定，则一般而言这一结论严重失效。在本工作中，我们识别出两类半正定偶次四次型，尽管它们通常具有无穷多个射影实零点，该结论仍成立。第一类由五个变量中的所有偶次四次半正定型组成。这为大小为五的矩阵是共正矩阵提供了一个自然的证书，并正面回答了 Laurent 与第二作者于2022年提出的一个问题。第二类由源自图及其稳定数的某些四次半正定型组成。这表明 de Klerk 与 Pasechnik 在2002年提出的图稳定数的半定近似层级有限收敛。在这两种情形中，证明的主要工具是 Burgdorf、Scheiderer 与第一作者于2012年发展的理想上的纯态方法。我们希望通过引入“测试态”的概念使该方法更易理解。
引用
@article{arxiv.2310.12853,
title = {Sum-of-squares certificates for copositivity via test states},
author = {Markus Schweighofer and Luis Felipe Vargas},
journal= {arXiv preprint arXiv:2310.12853},
year = {2023}
}