矩阵多项式正定性的分段证书

我们证明，任何对称正定齐次矩阵多项式 $M\in\R[x_1,...,x_n]^{m\times m}$ 都允许一个分段半证书，即一组恒等式 $M(x)=\sum_jf_{i,j}(x)U_{i,j}(x)^TU_{i,j}(x)$，其中 $U_{i,j}(x)$ 是矩阵多项式，$f_{i,j}(x)$ 在半代数子集 $S_i$ 上是非负多项式，且 $\R^n=\cup_{i=1}^r S_i$。该结果推广到了双齐次形式的情形。我们给出了一些证书的例子，并特别研究了围绕Choi反例的一个变体，该反例是一个非平方和的正半定双二次型。作为副产品，我们给出了著名的非负平方和多项式 $x^4z^2+z^4y^2+y^4x^2-3 x^2y^2z^2$ 作为正半定二次矩阵多项式行列式的表示。