柱面上半代数子集上非负性的有理证书

设 $g_1,\dots, g_s \in \mathbb{R}[X_1,\dots, X_n,Y]$ 且 $S = \{(\bar{x},y)\in \mathbb{R}^{n+1} \mid g_1(\bar{x},y) \ge 0, \dots, g_s(\bar{x}, y) \ge 0\}$ 为 $\mathbb{R}^{n+1}$ 中柱面内的一个非空（可能无界）子集。设 $f \in \mathbb{R}[X_1, \dots, X_n, Y]$ 为在 $S$ 上正的多项式。我们证明，在若干附加假设下，对任意在 $\mathbb{R}$ 上正的非常数多项式 $q \in \mathbb{R}[Y]$，存在 $f$ 在 $S$ 上非负性的一个证书，由有理函数给出，其分子为 $g_1, \dots, g_s$ 生成的二次模中的多项式，分母为 $q$ 的幂。