实代数集上非负多项式的 s.o.s. 逼近

对每一个实多项式 $f$，我们联系一族实多项式 $\{f_{\epsilon r}\}_{\epsilon, r}$，其显式由 $f$ 与参数 $\epsilon>0,r\in N$ 给出，且满足当 $\epsilon\to 0$ 时 $\Vert f-f_{\epsilon r}\Vert_1\to 0$。设 $V\subset R^n$ 是由有限多个多项式方程 $g_j(x)=0,j\in J$ 给出的实代数集，并设 $f$ 为在 $V$ 上非负的实多项式。我们证明对任意 $\epsilon>0$，存在非负标量 $\{\lambda_j(\epsilon)\}_{j\in J}$，使得对所有充分大的 $r$，$$f_{\epsilon r}+\sum_{j\in J} \lambda_j(\epsilon) g_j^2,\quad 是一个平方和。$$ 该表示是 $f_{\epsilon r}$ 在 $V$ 上非负性的一个显然证明，并且就定义集合 $V$ 的 $g_j$ 而言非常具体。特别地，它在对 $V$ 作{\it 无}假设时也成立。此外，从计算角度看该表示也很有用，因为我们可以定义半定规划松弛来逼近实代数集 $V$ 或半代数集 $K$ 上 $f$ 的全局最小值，且同样对 $V$ 或 $K$ 作{\it 无}假设。